Déduction des formules utilisées dans le calcul du ratio

  Quelques précisions sur la calcul du ratio de masses Proton/Electron

    Le modèle de Thomas Lockyer, rudimentaire selon ses propres mots, considère que le proton est constitué de plusieurs couches imbriquées d'énergies croissantes, et que sa masse peut être calculée à partir de l'énergie potentielle électrique entre ces niveaux.

      Ma première réaction fut l'incrédulité et le soupçon que dans le calcul on fournissait par avance et indirectement la masse du proton. Comme son livre comprenait le listing de son programme en Basic j'entrepris de le traduire en javascript, langage bien pratique pour bricoler et tester un algorithme de calcul. Et je pus constater que rien dans le calcul n'apparaissait de façon ad hoc pour obtenir ce résultat surprenant. 

Le calcul se fait en partant de la masse de l'électron, puis ajout d'énergies croissantes et la somme totale de ces énergies donne exactement le ratio recherché. On ne peut pas affiner la précision en jouant sur le nombre de niveaux. Ajoutons ou retirons un niveau d'imbrication et on passe à une erreur de 30%...!

Voyons les bases de son calcul :

Un électron a un masse $m_e$, un moment angulaire de spin $\dfrac{\hbar}{2}$, une charge $e$, un moment magnétique $\mu_e$. La constate de Planck est $h = m_e.c^2.\lambda_e / c$

On a aussi $e = \sqrt{\dfrac{2.\alpha.h}{\mu_0.c}}$ 

avec Perméabilité du vide = $\mu_0 = 4\pi.10^-7$  H/m  et $\alpha$ = Constante de structure fine.

Le moment angulaire du spin est l'équivalent physique d'une 'masse-énergie' tournant autour d'un cercle de rayon $R_m$ à la vitesse c :

$\dfrac{1}{2}.\hbar = m_e.c.R_m$

On pose $\lambda'_e = \hbar / m_e.c$  ce qui donne un rayon de giration $R_m = \lambda'_e/2$

On part du Magneton de Bohr $\mu_B$ pour poser le rayon idéalisé de giration de la charge $R_c$

$\mu_B = \dfrac{1}{2}.(e.c.\lambda'_e)$          A.m^2

Le modèle prévoit deux boucles de courant sur deux plans parallèles, par niveau, et on pose un rayon idéalisé de giration : $R_c = \sqrt{2}.R_m = \lambda_e'/\sqrt{2}$

Le moment magnétique de l'électron ($\mu_e$) diffère légèrement de la valeur attendue basée sur son spin pur ($\mu_B$). On va traiter cette différence comme une protrusion $\alpha_u$ dans le rayon de giration.

$$\underbrace{\mu_e = \mu_B.(1 + \alpha_e)    ,  R' = R_c.(1 + \alpha_u/2)}$$

$$\mu_c = 1/2 (e.c.\lambda'_e).(1 + \alpha_e) \equiv 1/2(e.c.\lambda'_e).(1 + \alpha_u/2)^2$$

$$\Longrightarrow  1 + \alpha_e = (1 - \alpha_u/2)^2   \Longrightarrow  \sqrt{1 + \alpha_e} = 1 + \alpha_u/2 \Longrightarrow    \alpha_u = 2.(\sqrt{1 + \alpha_e} - 1)$$

Obtention des longueurs normalisées pour le calcul itératif : 

  $L_n = \lambda_e'. [(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^n  . (1-\sqrt{2}.\alpha_u)]$  

Calcul l'espacement normalisé entre chaque niveau :

$1 = \sqrt{2}/2 + 2d + 2.(/sqrt{2}/2)$  $\Longrightarrow$  $d =  \dfrac{(1 - \sqrt{2}/2)}{2} - \dfrac{\sqrt{2}.\alpha_u}{2}$

 $d$ = distance corrigée

L'énergie potentielle électrique entre deux charges $q1$ et $q2$ est égale à 

$$U = \dfrac{q1.q2}{4\pi.e_0.d} = \dfrac {e^2}{4\pi.e_0.d}$$

avec $d$ la distance séparant les charges et $e_0$ la permitivité du vide.

Enfin on obtient la formule 

$$\triangle_E = 1 + [ \dfrac{e^2}{m_e.c^2.4\pi.\epsilon_0 . \lambda_e' .  (\dfrac{(1 - \sqrt{2}/2)}{2} - \dfrac{\sqrt{2}.\alpha_u}{2})} ]$$

Le facteur d'échelle $S$ est égal à $1/2d$ :

$$S = \dfrac{1}{[\sqrt{2}/2]^n [1 - \sqrt{2}.\alpha_u]}  \Longrightarrow   m_p / m_e = \triangle_0 + \sum_{n=1}^{18} S . \triangle_n$$

La formule du Total est donc :

$$M_p =  \sum_{k=1}^n  \dfrac{e^2}{4\pi.c^2.M_e.e_0.d . [1 - (\sqrt{2}/2 - \sqrt{2}.\alpha) / 2]^n }$$

avec $M_e$ = masse de l'électron

C'est la formule utilisée par le script que j'ai mis dans le premier post.

  Pour le détail de sa théorie vous pouvez acheter son livre intitulé $Vector Particle Physics$ de T.N.Lockyer Edition de 1992, publié sur fonds propres. J'avais eu la chance de pouvoir le lui acheter directement en envoyant un billet de 5 dollars par la poste (aujourd'hui il y a internet !).